Задача о наилучшем приближении

Из конспекта

$X~-$ минимальное пространство над $F,~~E \subset X$
$\{l_{k}\}_{k = 1}^{n}~-$ ОНБ $E$
$P \in E, x \in X,$ тогда $P = \sum_{k=1}^{n} \alpha_{k}e_{k}$
$\inf_{P \in E} ||x-P||~-~?$
$\inf_{a,b \in \mathbb{R}} ||x^{2} - (ax + b)||_{\infty} = ||x^{2} - \dfrac{1}{2}||_{\infty}$ на отрезке $[-1,1]$
$\inf||x^{2} - (ax + b)||_{1} = ||x^{2} - \dfrac{1}{4}||_{1}$
$\inf||x^{2} - (ax+b)||_{2} = ||x^{2} - \dfrac{1}{3}||_{2}$

---

(ИИ) Задача о наилучшем приближении элемента в подпространстве

**Дано:**
- $X$ — векторное пространство над полем $F$ с нормой $\|\cdot\|$,
- $E \subset X$ — конечномерное подпространство ($\dim E = n$),
- $\{e_k\}_{k=1}^n$ — базис $E$ (в случае евклидова пространства — ортонормированный базис),
- $x \in X$ — произвольный элемент.

**Постановка задачи:**
Найти величину $$ \inf_{P \in E} \|x - P\| $$
где $P = \sum_{k=1}^n \alpha_k e_k$, $\alpha_k \in F$.

---

Теорема: Решение для евклидовой нормы

**Условия:**
$X$ — евклидово пространство ($F = \mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$) со скалярным произведением $(\cdot,\cdot)$, $\|u\| = \sqrt{(u,u)}$, $\{e_k\}$ — ортонормированный базис $E$.

**Утверждение:**
Инфимум достигается при $$ P^* = \sum_{k=1}^n c_k e_k, \quad c_k = (x, e_k) $$
и выполняется:
$$ \min_{P \in E} \|x - P\| = \|x - P^*\| $$

**Доказательство:**
Для произвольного $P = \sum_{k=1}^n \alpha_k e_k$:
$$ \|x - P\|^2 = (x - P, x - P) = \|x\|^2 - 2\operatorname{Re}\sum_{k=1}^n \bar{\alpha}_k c_k + \sum_{k=1}^n |\alpha_k|^
2. $$
Добавление $\sum_{k=1}^n |c_k|^2 - \sum_{k=1}^n |c_k|^2$ дает:
$$ \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n |c_k|^2 + \sum_{k=1}^n |\alpha_k - c_k|^2 \geq \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n |c_k|^
2. $$
Равенство $\iff \alpha_k = c_k$ $\forall k$ $\iff P = P^*$.
$\square$